Математический анализ Примеры

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3} + 2 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4

Умножим $t^{2}$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

Этап 4.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

Этап 4.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

Этап 4.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ и $g (t) = t + 2$ .

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6.4.2

Умножим $t^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Этап 11

Объединим $\frac{3}{2}$ и $t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $t$ и $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.7

Объединим $2$ и $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 12.2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12.2.9

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 12.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Этап 12.2.10.2

Сократим общий множитель.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.10.3

Перепишем это выражение.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 12.2.10.4

Разделим $3 t^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2.11

Чтобы записать $t^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2.12

Объединим $t^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2.14

Перенесем $2$ влево от $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2.15

Добавим $2 t^{\frac{3}{2}}$ и $3 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$