Математический анализ Примеры

${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = t^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 6.3

Перенесем ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 7

По правилу суммы производная $t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 9

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + 0)$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t)$

Этап 10.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} t$

Этап 10.3

Объединим $\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5

Перепишем это выражение.

$\frac{t}{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$