Математический анализ Примеры

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 3})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Этап 2

Объединим $2$ и $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Перенесем $3$ влево от $t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $t^{8} + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $8 t^{7}$ и $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 5

Умножим $t^{3}$ на $t^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $7$ и $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 6

Умножим $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3}$ на $\frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 3) {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 7

Умножим $t^{8} + 3$ на ${(t^{8} + 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $t^{8} + 3$ на ${(t^{8} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $t^{8} + 3$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1} {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1 + 2}}$

Этап 7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Умножим $t^{3}$ на $t^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Перенесем $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.1.3

Добавим $8$ и $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.3

Умножим $t^{11}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.3.3

Добавим $2$ и $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.6

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.6.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.7

Умножим $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.7.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.7.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.9

Умножим $t^{3}$ на $t^{10}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.9.1

Перенесем $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.9.3

Добавим $10$ и $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.1.10

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.4.2

Вычтем $16 t^{13}$ из $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.5

Вынесем множитель $2 t^{5}$ из $- 10 t^{13} + 18 t^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $2 t^{5}$ из $- 10 t^{13}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.5.2

Вынесем множитель $2 t^{5}$ из $18 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.5.3

Вынесем множитель $2 t^{5}$ из $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.7

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 t^{8}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.9

Перепишем $- (5 t^{8} - 9)$ в виде $- 1 (5 t^{8} - 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Этап 8.11

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$