Математический анализ Примеры

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1}{x}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{- \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.5.2

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x}}}{x}$

Этап 1.5.3

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1}}}{x}$

Этап 1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}}{x}$

Этап 1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{2}}}{x}$

Этап 1.5.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ в виде $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{x}$

Этап 1.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{x}$

Этап 1.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

Этап 1.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

Этап 1.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{1}}}{x}$

Этап 1.5.6.5

Упростим.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{1 \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.7

Умножим $\sqrt{1 + x}$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.8

Умножим $- \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})}{1 + x}}{x}$

Этап 1.8.2

Возведем $\sqrt{1 + x}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})}{1 + x}}{x}$

Этап 1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{2}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перепишем ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ в виде $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{1}}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.1.5

Упростим.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 \cdot 1 - x}{1 + x}}{x}$

Этап 1.9.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}}{x}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$

Этап 4

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{x (1 + x)}$