Математический анализ Примеры

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 < 9 x - 6$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей неравенства.

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 - 9 x < - 6$

Этап 1.2

Вычтем $9 x$ из $- 8 x$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 < - 6$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $6$ к обеим частям неравенства.

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 + 6 < 0$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $6$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 < 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = - 8$ , $b = - 17$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot 8)}}{2 \cdot - 8}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 8 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 32 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $32$ на $8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 256}}{2 \cdot - 8}$

Этап 6.1.3

Добавим $289$ и $256$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{2 \cdot - 8}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{- 16}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{17 \pm \sqrt{545}}{16}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}, - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$- 8 {(- 5)}^{2} - 8 \cdot - 5 + 2 < 9 (- 5) - 6$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 158$ меньше правой части $- 51$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 8 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 2 < 9 (0) - 6$

Этап 9.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- 8 {(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 2 < 9 (3) - 6$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 94$ меньше правой части $21$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Истина

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Ложь

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Истина

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Истина

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Ложь

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ или $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16} or x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{545}}{16}, \infty)$

Этап 12