Математический анализ Примеры

$\ln (x - 2) < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (x - 2) = 0$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x - 2)} = e^{0}$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (x - 2) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 2$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x - 2 = e^{0}$ .

$x - 2 = e^{0}$

Этап 2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x - 2 = 1$

Этап 2.3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + 2$

Этап 2.3.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x = 3$

Этап 3

Найдем область определения $\ln (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x - 2)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 2 > 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x > 2$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(2, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\ln ((0) - 2) < 0$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\ln ((2.5) - 2) < 0$

Этап 5.2.3

Левая часть $- 0.69314718$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\ln ((6) - 2) < 0$

Этап 5.3.3

Левая часть $1.38629436$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 3$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 3$

Интервальное представление:

$(2, 3)$

Этап 8