Математический анализ Примеры

$\frac{1 - n^{- 2}}{1 - n}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - n^{- 2}}{1 - n}$

Этап 1.2

Перепишем $n^{- 2}$ в виде ${(n^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(n^{- 1})}^{2}}{1 - n}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = n^{- 1}$ .

$\frac{(1 + n^{- 1}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Этап 1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Этап 1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Этап 1.4.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Этап 1.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (\frac{n}{n} - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Этап 1.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n}}{1 - n}$

Этап 2

Умножим $\frac{n + 1}{n}$ на $\frac{n - 1}{n}$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n \cdot n}}{1 - n}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n}}{1 - n}$

Этап 3.2

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n^{1}}}{1 - n}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1 + 1}}}{1 - n}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}}{1 - n}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}} \cdot \frac{1}{1 - n}$

Этап 5

Умножим $\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}$ на $\frac{1}{1 - n}$ .

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $n - 1$ и $1 - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $n$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Этап 6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1 (1))}{n^{2} (1 - n)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- n) - 1 (1)$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (1 - n)}$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Этап 6.6

Перепишем это выражение.

$\frac{(n + 1) \cdot (- 1)}{n^{2}}$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $- 1$ влево от $n + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (n + 1)}{n^{2}}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{n + 1}{n^{2}}$