Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ на $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ на $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{(a + b) (a - b)} - \sqrt{(a + b) (a - b)} - {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} {(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1}}{2 b}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1 + 1}}{2 b}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}}{2 b}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}$ в виде $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ .

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a + b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\sqrt{a + b} \sqrt{a + b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $\sqrt{a + b}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.1.2

Возведем $\sqrt{a + b}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} {\sqrt{a + b}}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1 + 1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2

Перепишем ${\sqrt{a + b}}^{2}$ в виде $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a + b}$ в виде ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(a + b)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(a + b)}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.2.5

Упростим.

$\frac{a + b + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.5

Умножим $\sqrt{a - b} \sqrt{a - b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Возведем $\sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b}}{2 b}$

Этап 6.1.5.2

Возведем $\sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1}}{2 b}$

Этап 6.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}{2 b}$

Этап 6.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{2}}{2 b}$

Этап 6.1.6

Перепишем ${\sqrt{a - b}}^{2}$ в виде $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a - b}$ в виде ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 b}$

Этап 6.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 b}$

Этап 6.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Этап 6.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

Этап 6.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{1}}{2 b}$

Этап 6.1.6.5

Упростим.

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + a - b}{2 b}$

Этап 6.2

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{2 a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} - b}{2 b}$

Этап 6.3

Вычтем $b$ из $b$ .

$\frac{2 a + 0 + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Этап 6.4

Добавим $2 a$ и $0$ .

$\frac{2 a + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(a + b) (a - b)}$ в виде ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(a - b) (a + b)}$ в виде ${((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Этап 7.3

Изменим порядок множителей в $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Этап 7.4

Добавим ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ и ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.6

Развернем $(a + b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (a + {(a (a - b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.7

Объединим противоположные члены в $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Изменим порядок множителей в членах $a (- b)$ и $b a$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a - a b + a b + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.7.2

Добавим $- a b$ и $a b$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + 0 + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.7.3

Добавим $a \cdot a$ и $0$ .

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b \cdot b)}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.8.3

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Перенесем $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - (b \cdot b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 7.8.3.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{b}$