Математический анализ Примеры

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{x + 1}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6

Перепишем $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перенесем ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{1} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Упростим $2 {(1 + x)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 (1 + x) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \cdot 1 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 1.6.5

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 3

Умножим $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Этап 3.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{1}}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$