Математический анализ Примеры

$\frac{20 - 7 \sqrt{7}}{11 - 4 \sqrt{7}}$

Этап 1

Умножим $\frac{20 - 7 \sqrt{7}}{11 - 4 \sqrt{7}}$ на $\frac{11 + 4 \sqrt{7}}{11 + 4 \sqrt{7}}$ .

$\frac{20 - 7 \sqrt{7}}{11 - 4 \sqrt{7}} \cdot \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{11 + 4 \sqrt{7}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{20 - 7 \sqrt{7}}{11 - 4 \sqrt{7}}$ на $\frac{11 + 4 \sqrt{7}}{11 + 4 \sqrt{7}}$ .

$\frac{(20 - 7 \sqrt{7}) (11 + 4 \sqrt{7})}{(11 - 4 \sqrt{7}) (11 + 4 \sqrt{7})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(20 - 7 \sqrt{7}) (11 + 4 \sqrt{7})}{121 + 44 \sqrt{7} - 44 \sqrt{7} - 16 {\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(20 - 7 \sqrt{7}) (11 + 4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 3

Развернем $(20 - 7 \sqrt{7}) (11 + 4 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 (11 + 4 \sqrt{7}) - 7 \sqrt{7} (11 + 4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 \cdot 11 + 20 (4 \sqrt{7}) - 7 \sqrt{7} (11 + 4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 \cdot 11 + 20 (4 \sqrt{7}) - 7 \sqrt{7} \cdot 11 - 7 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $20$ на $11$ .

$\frac{220 + 20 (4 \sqrt{7}) - 7 \sqrt{7} \cdot 11 - 7 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $20$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7} \cdot 11 - 7 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 4.1.3

Умножим $11$ на $- 7$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{9}$

Этап 4.1.4

Умножим $- 7 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $4$ на $- 7$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9}$

Этап 4.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{9}$

Этап 4.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{9}$

Этап 4.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9}$

Этап 4.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 {\sqrt{7}}^{2}}{9}$

Этап 4.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Этап 4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Этап 4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \cdot 7^{1}}{9}$

Этап 4.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 28 \cdot 7}{9}$

Этап 4.1.6

Умножим $- 28$ на $7$ .

$\frac{220 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7} - 196}{9}$

Этап 4.2

Вычтем $196$ из $220$ .

$\frac{24 + 80 \sqrt{7} - 77 \sqrt{7}}{9}$

Этап 4.3

Вычтем $77 \sqrt{7}$ из $80 \sqrt{7}$ .

$\frac{24 + 3 \sqrt{7}}{9}$

Этап 5

Сократим общий множитель $24 + 3 \sqrt{7}$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 3 \sqrt{7}}{9}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{7}$ .

$\frac{3 \cdot 8 + 3 (\sqrt{7})}{9}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 8 + 3 (\sqrt{7})$ .

$\frac{3 \cdot (8 + \sqrt{7})}{9}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot (8 + \sqrt{7})}{3 (3)}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot (8 + \sqrt{7})}{3 \cdot 3}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8 + \sqrt{7}}{3}$

Десятичная форма:

$3.54858377 \dots$