Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ не определено.

$x = - 2$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$

Этап 6.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x + 2}$

Этап 6.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x + 2}$

Этап 6.1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $x^{2} - 2 x + 4$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + 4$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x^{2} - 2 x + 4$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x^{2} - 2 x + 4$

Этап 8