Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{x^{2}}{64}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{4}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x^{2}}{64}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{x \cdot 64} + \frac{1}{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 64$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 5

Умножим $4$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{x^{2 + 1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{32 x}{32 x}}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{2 (32 x)}}$

Этап 8.2

Умножим $32$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{64 x}}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256 + 32 x}{64 x}}$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}}$

Этап 11

Перепишем $\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}$ в виде ${(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{3} + 32 x + 256$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{64 x}}$

Этап 11.2

Вынесем полную степень $8^{2}$ из $64 x$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}}$

Этап 11.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Этап 12

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{8} \sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Этап 13

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$

Этап 14

Объединим.

$\frac{1 \sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Этап 15

Умножим $\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Этап 16

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 17

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 17.2

Перенесем $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Этап 17.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Этап 17.4

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Этап 17.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 17.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 17.7

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 17.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 17.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 17.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 17.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{1}}$

Этап 17.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x}$

Этап 18

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$

Этап 19

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$ .

$\frac{\sqrt{x (x^{3} + 32 x + 256)}}{8 x}$