Математический анализ Примеры

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $2 x - 1$ на $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{3}$ и ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.2.2.4

Разделим $B (x + 1)$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.4

Умножим $B$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Этап 1.6.5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{3}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

Этап 1.6.5.2.4

Разделим $C {(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.6.6

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

Этап 1.6.7

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Этап 1.6.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Этап 1.6.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 1.6.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 1.6.8.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 1.6.8.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Этап 1.6.8.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

Этап 1.6.8.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1.6.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

Этап 1.6.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.10.2

Умножим $C$ на $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

Этап 1.7.2

Перенесем $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

Этап 1.7.3

Изменим порядок $B x$ и $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = B + 2 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A + B + C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $C$ в $2 = B + 2 C$ на $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $B + 2 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $C$ в $- 1 = A + B + C$ на $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Этап 3.2.4

Упростим $- 1 = A + B + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Избавимся от скобок.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Этап 3.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Добавим $A + B$ и $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

Этап 3.3

Перепишем уравнение в виде $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 1 = A + B$ на $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $A$ в $- 1 = A + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$