Математический анализ Примеры

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Этап 3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ , вынося $- (x^{2} + y^{2})$ из логарифма.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Этап 3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Этап 3.4

Умножим $- x^{2} - y^{2}$ на $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Этап 4

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Этап 5

Разделим каждый член $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (z)$ в виде $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Этап 8

Зададим аргумент в $\ln (z)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$z > 0$

Этап 9

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Этап 10

Добавим $x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Этап 11

Область определения ― это все значения $z$ , при которых выражение определено.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Обозначение построения множества:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$