Математический анализ Примеры

$\frac{- 4 s^{2} + s + 1}{s (s^{2} + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $s (s^{2} + 1)$ .

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $s^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.4.2

Разделим $- 4 s^{2} + s + 1$ на $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (s^{2} + 1)$ на $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A (s^{2} + 1) + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $s^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

Этап 1.5.4.2

Разделим $(B s + C) (s)$ на $1$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + (B s + C) (s)$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s \cdot s + C s$

Этап 1.5.6

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Перенесем $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B (s \cdot s) + C s$

Этап 1.5.6.2

Умножим $s$ на $s$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s$

Этап 1.6

Перенесем $A$ .

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + B s^{2} + C s + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $s^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $s$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $s$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = A + B$

$1 = A$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = A + B$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 4 = A + B$ на $1$ .

$- 4 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 1$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

Этап 3.4

Решим относительно $B$ в $- 4 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = - 4$ .

$1 + B = - 4$

$A = 1$

$C = 1$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 4 - 1$

$A = 1$

$C = 1$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 5 A = 1 C = 1$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$B = - 5, A = 1, C = 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{s} + \frac{- 5 s + 1}{s^{2} + 1}$