Математический анализ Примеры

$C (t) = 19 t^{2} e^{- t}$

Этап 1

Поскольку $19$ является константой относительно $t$ , производная $19 t^{2} e^{- t}$ по $t$ равна $19 \frac{d}{d t} [t^{2} e^{- t}]$ .

$19 \frac{d}{d t} [t^{2} e^{- t}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = e^{- t}$ .

$19 (t^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- t$ .

$19 (t^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$19 (t^{2} (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- t$ .

$19 (t^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$19 (t^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$19 (t^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$19 (t^{2} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$19 (t^{2} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$19 (t^{2} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$19 (t^{2} (- e^{- t}) + e^{- t} (2 t))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$19 (t^{2} (- e^{- t})) + 19 (e^{- t} (2 t))$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $19$ .

$- 19 (t^{2} (e^{- t})) + 19 (e^{- t} (2 t))$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $19$ .

$- 19 t^{2} e^{- t} + 38 e^{- t} t$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$- 19 e^{- t} t^{2} + 38 e^{- t} t$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $- 19 e^{- t} t^{2} + 38 e^{- t} t$ .

$- 19 t^{2} e^{- t} + 38 t e^{- t}$