Математический анализ Примеры

$\frac{t^{6} + 1}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $t^{6}$ в виде ${(t^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(t^{2})}^{3} + 1}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{(t^{2})}^{3} + 1^{3}}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = t^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) ({(t^{2})}^{2} - t^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{2 \cdot 2} - t^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1^{2})}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{6} + t^{3}}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $t^{3}$ из $t^{6} + t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вынесем множитель $t^{3}$ из $t^{6}$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} t^{3} + t^{3}}$

Этап 1.1.5.2

Умножим на $1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} t^{3} + t^{3} \cdot 1}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $t^{3}$ из $t^{3} t^{3} + t^{3} \cdot 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} (t^{3} + 1)}$

Этап 1.1.6

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} (t^{3} + 1^{3})}$

Этап 1.1.7

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} ((t + 1) (t^{2} - t \cdot 1 + 1^{2}))}$

Этап 1.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} ((t + 1) (t^{2} - t + 1^{2}))}$

Этап 1.1.8.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} ((t + 1) (t^{2} - t + 1))}$

Этап 1.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)}{t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $D$ .

$\frac{A}{t^{3}} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C}{t} + \frac{D}{t + 1}$

Этап 1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{t^{3}} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C}{t} + \frac{D}{t + 1} + \frac{F t + G}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1)$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1)} = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) ((t + 1) (t^{2} - t + 1))}{(t + 1) (t^{2} - t + 1)} = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) (t^{2} - t + 1)}{t^{2} - t + 1} = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $t^{2} - t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.3.2

Разделим $(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)$ на $1$ .

$(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1) = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.6

Развернем $(t^{2} + 1) (t^{4} - t^{2} + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$t^{2} t^{4} + t^{2} (- t^{2}) + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{2 + 4} + t^{2} (- t^{2}) + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$t^{6} + t^{2} (- t^{2}) + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} - t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.3

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$t^{6} - (t^{2} t^{2}) + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} - t^{2 + 2} + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$t^{6} - t^{4} + t^{2} \cdot 1 + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.4

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} - t^{4} + t^{2} + 1 t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.5

Умножим $t^{4}$ на $1$ .

$t^{6} - t^{4} + t^{2} + t^{4} + 1 (- t^{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.6

Умножим $- t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} - t^{4} + t^{2} + t^{4} - t^{2} + 1 \cdot 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$t^{6} - t^{4} + t^{2} + t^{4} - t^{2} + 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.2

Объединим противоположные члены в $t^{6} - t^{4} + t^{2} + t^{4} - t^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Добавим $- t^{4}$ и $t^{4}$ .

$t^{6} + t^{2} + 0 - t^{2} + 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.2.2

Добавим $t^{6} + t^{2}$ и $0$ .

$t^{6} + t^{2} - t^{2} + 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.2.3

Вычтем $t^{2}$ из $t^{2}$ .

$t^{6} + 0 + 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.7.2.4

Добавим $t^{6}$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = \frac{A (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{3}} + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ((t + 1) (t^{2} - t + 1))$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A ((t + 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.2

Развернем $(t + 1) (t^{2} - t + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$t^{6} + 1 = A (t \cdot t^{2} + t (- t) + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

Этап 1.8.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A (t^{1 + 2} + t (- t) + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} + t (- t) + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.3.1

Перенесем $t$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - (t \cdot t) + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t^{2} + t \cdot 1 + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.4

Умножим $t$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t^{2} + t + 1 t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.5

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t^{2} + t + t^{2} + 1 (- t) + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.6

Умножим $- t$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t^{2} + t + t^{2} - t + 1 \cdot 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.3.7

Умножим $1$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} - t^{2} + t + t^{2} - t + 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.4

Объединим противоположные члены в $t^{3} - t^{2} + t + t^{2} - t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Добавим $- t^{2}$ и $t^{2}$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} + t + 0 - t + 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.4.2

Добавим $t^{3} + t$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} + t - t + 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.4.3

Вычтем $t$ из $t$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} + 0 + 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.4.4

Добавим $t^{3}$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A (t^{3} + 1) + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A \cdot 1 + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.6

Умножим $A$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + \frac{B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель $t^{3}$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $B (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + \frac{t^{2} (B ((t (t + 1)) (t^{2} - t + 1)))}{t^{2}} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.2.1

Умножим на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + \frac{t^{2} (B ((t (t + 1)) (t^{2} - t + 1)))}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.7.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 1.8.7.2.3

Перепишем это выражение.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + \frac{B ((t (t + 1)) (t^{2} - t + 1))}{1} + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.7.2.4

Разделим $B ((t (t + 1)) (t^{2} - t + 1))$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B ((t (t + 1)) (t^{2} - t + 1)) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B ((t \cdot t + t \cdot 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.9

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B ((t^{2} + t \cdot 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.10

Умножим $t$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B ((t^{2} + t) (t^{2} - t + 1)) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.11

Развернем $(t^{2} + t) (t^{2} - t + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1 + t \cdot t^{2} + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.12

Объединим противоположные члены в $t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1 + t \cdot t^{2} + t (- t) + t \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.12.1

Изменим порядок множителей в членах $t^{2} (- t)$ и $t \cdot t^{2}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{2} t^{2} - t^{2} t + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.12.2

Добавим $- t^{2} t$ и $t^{2} t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 1 + 0 + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.12.3

Добавим $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 1$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot 1 + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} \cdot 1 + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.2

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} + t (- t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} - t \cdot t + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.4

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.4.1

Перенесем $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} - (t \cdot t) + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.4.2

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} - t^{2} + t \cdot 1) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.13.5

Умножим $t$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t^{2} - t^{2} + t) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.14

Объединим противоположные члены в $t^{4} + t^{2} - t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.14.1

Вычтем $t^{2}$ из $t^{2}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + 0 + t) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.14.2

Добавим $t^{4}$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B (t^{4} + t) + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + \frac{C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.16

Сократим общий множитель $t^{3}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.16.1

Вынесем множитель $t$ из $C (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + \frac{t (C ((t^{2} (t + 1)) (t^{2} - t + 1)))}{t} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.16.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

Этап 1.8.16.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + \frac{t (C ((t^{2} (t + 1)) (t^{2} - t + 1)))}{t \cdot 1} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.16.2.3

Сократим общий множитель.

Этап 1.8.16.2.4

Перепишем это выражение.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + \frac{C ((t^{2} (t + 1)) (t^{2} - t + 1))}{1} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.16.2.5

Разделим $C ((t^{2} (t + 1)) (t^{2} - t + 1))$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C ((t^{2} (t + 1)) (t^{2} - t + 1)) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C ((t^{2} t + t^{2} \cdot 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.18

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.18.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.18.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

Этап 1.8.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C ((t^{2 + 1} + t^{2} \cdot 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.18.2

Добавим $2$ и $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C ((t^{3} + t^{2} \cdot 1) (t^{2} - t + 1)) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.19

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C ((t^{3} + t^{2}) (t^{2} - t + 1)) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.20

Развернем $(t^{3} + t^{2}) (t^{2} - t + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{3} t^{2} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.1

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{3 + 2} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{3} t + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.3

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.3.1

Перенесем $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - (t \cdot t^{3}) + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.3.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

Этап 1.8.21.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{1 + 3} + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} \cdot 1 + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.4

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{2} t^{2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.5

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{2 + 2} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.5.2

Добавим $2$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - t^{2} t + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.7

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.7.1

Перенесем $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - (t \cdot t^{2}) + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.7.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.7.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

Этап 1.8.21.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - t^{1 + 2} + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - t^{3} + t^{2} \cdot 1) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.21.8

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - t^{3} + t^{2}) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.22

Объединим противоположные члены в $t^{5} - t^{4} + t^{3} + t^{4} - t^{3} + t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.22.1

Добавим $- t^{4}$ и $t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} + t^{3} + 0 - t^{3} + t^{2}) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.22.2

Добавим $t^{5} + t^{3}$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} + t^{3} - t^{3} + t^{2}) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.22.3

Вычтем $t^{3}$ из $t^{3}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} + 0 + t^{2}) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.22.4

Добавим $t^{5}$ и $0$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C (t^{5} + t^{2}) + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.23

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + \frac{(D) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.24

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.24.1

Сократим общий множитель.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + \frac{D (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t + 1} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.24.2

Разделим $(D) (t^{3} (t^{2} - t + 1))$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + (D) (t^{3} (t^{2} - t + 1)) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.25

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{3} t^{2} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.26.1

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.26.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{3 + 2} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.26.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} + t^{3} (- t) + t^{3} \cdot 1) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.26.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - t^{3} t + t^{3} \cdot 1) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.26.3

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - t^{3} t + t^{3}) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.27

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.27.1

Перенесем $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - (t \cdot t^{3}) + t^{3}) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.27.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.27.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - (t \cdot t^{3}) + t^{3}) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.27.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - t^{1 + 3} + t^{3}) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.27.3

Добавим $1$ и $3$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D (t^{5} - t^{4} + t^{3}) + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.28

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} + D (- t^{4}) + D t^{3} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.29

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.30

Сократим общий множитель $t^{2} - t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.30.1

Сократим общий множитель.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + \frac{(F t + G) (t^{3} (t + 1) (t^{2} - t + 1))}{t^{2} - t + 1}$

Этап 1.8.30.2

Разделим $(F t + G) (t^{3} (t + 1))$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{3} (t + 1))$

Этап 1.8.31

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{3} t + t^{3} \cdot 1)$

Этап 1.8.32

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.1

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{3} t + t^{3} \cdot 1)$

Этап 1.8.32.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{3 + 1} + t^{3} \cdot 1)$

Этап 1.8.32.2

Добавим $3$ и $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{4} + t^{3} \cdot 1)$

Этап 1.8.33

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + (F t + G) (t^{4} + t^{3})$

Этап 1.8.34

Развернем $(F t + G) (t^{4} + t^{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.34.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t (t^{4} + t^{3}) + G (t^{4} + t^{3})$

Этап 1.8.34.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t \cdot t^{4} + F t \cdot t^{3} + G (t^{4} + t^{3})$

Этап 1.8.34.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t \cdot t^{4} + F t \cdot t^{3} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.35.1

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.35.1.1

Перенесем $t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F (t^{4} t) + F t \cdot t^{3} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.1.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.35.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F (t^{4} t) + F t \cdot t^{3} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{4 + 1} + F t \cdot t^{3} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t \cdot t^{3} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.35.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F (t^{3} t) + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.2.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.35.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F (t^{3} t) + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{3 + 1} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.8.35.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Изменим порядок $B$ и $t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9.2

Изменим порядок $F$ и $t^{5}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9.3

Изменим порядок $F$ и $t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9.4

Изменим порядок $G$ и $t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9.5

Изменим порядок $G$ и $t^{3}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + A + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3}$

Этап 1.9.6

Перенесем $A$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + B t^{4} + B t + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3} + A$

Этап 1.9.7

Перенесем $B t$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + B t^{4} + C t^{5} + C t^{2} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3} + B t + A$

Этап 1.9.8

Перенесем $C t^{2}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + B t^{4} + C t^{5} + D t^{5} - D t^{4} + D t^{3} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + G t^{3} + C t^{2} + B t + A$

Этап 1.9.9

Перенесем $D t^{3}$ .

$t^{6} + 1 = A t^{3} + B t^{4} + C t^{5} + D t^{5} - D t^{4} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + D t^{3} + G t^{3} + C t^{2} + B t + A$

Этап 1.9.10

Перенесем $A t^{3}$ .

$t^{6} + 1 = B t^{4} + C t^{5} + D t^{5} - D t^{4} + F t^{5} + F t^{4} + G t^{4} + A t^{3} + D t^{3} + G t^{3} + C t^{2} + B t + A$

Этап 1.9.11

Перенесем $- D t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = B t^{4} + C t^{5} + D t^{5} + F t^{5} - D t^{4} + F t^{4} + G t^{4} + A t^{3} + D t^{3} + G t^{3} + C t^{2} + B t + A$

Этап 1.9.12

Перенесем $B t^{4}$ .

$t^{6} + 1 = C t^{5} + D t^{5} + F t^{5} + B t^{4} - D t^{4} + F t^{4} + G t^{4} + A t^{3} + D t^{3} + G t^{3} + C t^{2} + B t + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{5}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C + D + F$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{4}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B - 1 D + F + G$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + D + G$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 2.5

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 2.6

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.7

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = C + D + F$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = C$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = C + D + F$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = C$

$0 = B$

$1 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = C + D + F$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = B$

$1 = A$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $C$ в $0 = C + D + F$ на $0$ .

$0 = (0) + D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = B$

$1 = A$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $D$ .

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$0 = B$

$1 = A$

Этап 3.2.3

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$1 = A$

Этап 3.2.4

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = A + D + G$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + D + G$ на $1$ .

$0 = (1) + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = B - 1 D + F + G$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B - 1 D + F + G$ на $0$ .

$0 = (0) - 1 D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $(0) - 1 D + F + G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вычтем $1 D$ из $0$ .

$0 = - 1 D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем $- 1 D$ в виде $- D$ .

$0 = - D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = - D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = - D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$0 = - D + F + G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $F$ в $0 = - D + F + G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- D + F + G = 0$ .

$- D + F + G = 0$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $F$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $D$ к обеим частям уравнения.

$F + G = D$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $G$ из обеих частей уравнения.

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = D + F$

$C = 0$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $F$ на $D - G$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $F$ в $0 = D + F$ на $D - G$ .

$0 = D + D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.6.2

Упростим $0 = D + D - G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Избавимся от скобок.

$0 = D + D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = D + D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Добавим $D$ и $D$ .

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$0 = 1 + D + G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.7

Решим относительно $D$ в $0 = 1 + D + G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $1 + D + G = 0$ .

$1 + D + G = 0$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.7.2

Перенесем все члены без $D$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$D + G = - 1$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.7.2.2

Вычтем $G$ из обеих частей уравнения.

$D = - 1 - G$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - 1 - G$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - 1 - G$

$0 = 2 D - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8

Заменим все вхождения $D$ на $- 1 - G$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Заменим все вхождения $D$ в $0 = 2 D - G$ на $- 1 - G$ .

$0 = 2 (- 1 - G) - G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим $2 (- 1 - G) - G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 2 \cdot - 1 + 2 (- G) - G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.2.1.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 = - 2 + 2 (- G) - G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - 2 - 2 G - G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = - 2 - 2 G - G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.2.1.2

Вычтем $G$ из $- 2 G$ .

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$F = D - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $D$ в $F = D - G$ на $- 1 - G$ .

$F = (- 1 - G) - G$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Вычтем $G$ из $- G$ .

$F = - 1 - 2 G$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = - 1 - 2 G$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = - 1 - 2 G$

$0 = - 2 - 3 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9

Решим относительно $G$ в $0 = - 2 - 3 G$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 - 3 G = 0$ .

$- 2 - 3 G = 0$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 3 G = 2$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9.3

Разделим каждый член $- 3 G = 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Разделим каждый член $- 3 G = 2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 G}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 G}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9.3.2.1.2

Разделим $G$ на $1$ .

$G = \frac{2}{- 3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$G = \frac{2}{- 3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$G = \frac{2}{- 3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$G = - \frac{2}{3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$G = - \frac{2}{3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$G = - \frac{2}{3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$G = - \frac{2}{3}$

$F = - 1 - 2 G$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10

Заменим все вхождения $G$ на $- \frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Заменим все вхождения $G$ в $F = - 1 - 2 G$ на $- \frac{2}{3}$ .

$F = - 1 - 2 (- \frac{2}{3})$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Упростим $- 1 - 2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1

Умножим $- 2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$F = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$F = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$F = - 1 + \frac{4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = - 1 + \frac{4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$F = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$F = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$F = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$F = \frac{- 3 + 4}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.2.1.5.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$D = - 1 - G$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.3

Заменим все вхождения $G$ в $D = - 1 - G$ на $- \frac{2}{3}$ .

$D = - 1 - (- \frac{2}{3})$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Упростим $- 1 - (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1.1

Умножим $- (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$D = - 1 + 1 (\frac{2}{3})$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.1.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$D = - 1 + \frac{2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - 1 + \frac{2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$D = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$D = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$D = \frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$D = \frac{- 3 + 2}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.5.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$D = \frac{- 1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = \frac{- 1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.10.4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$D = - \frac{1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - \frac{1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - \frac{1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

$D = - \frac{1}{3}$

$F = \frac{1}{3}$

$G = - \frac{2}{3}$

$A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Этап 3.11

Перечислим все решения.

$D = - \frac{1}{3}, F = \frac{1}{3}, G = - \frac{2}{3}, A = 1, B = 0, C = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{t^{3}} + \frac{B}{t^{2}} + \frac{C}{t} + \frac{D}{t + 1} + \frac{F t + G}{t^{2} - t + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $F$ и $G$ .

$\frac{1}{t^{3}} + \frac{0}{t^{2}} + \frac{0}{t} + \frac{- \frac{1}{3}}{t + 1} + \frac{\frac{1}{3 t} - \frac{2}{3}}{t^{2} - t + 1}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t$ .

$\frac{1}{t^{3}} + \frac{0}{t^{2}} + \frac{0}{t} + \frac{- \frac{1}{3}}{t + 1} + \frac{\frac{t}{3} - \frac{2}{3}}{t^{2} - t + 1}$