Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{24 + 2 x - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{24 + 2 x - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$24 + 2 x - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$24 + 2 x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $24 + 2 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $24$ .

$2 x - x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 24 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 24 = 0$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $24$ в виде $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 2$ .

$- 6, 4$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 6) (x + 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 6) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 6, - 4$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$24 + 2 (- 6) - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$24 + 2 (0) - {(0)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $24$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$24 + 2 (8) - {(8)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 6$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, 6]$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x \leq 6}$

Этап 4