Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $π (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Этап 2.2.1.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$π x - π \geq 0$

Этап 2.4

Добавим $π$ к обеим частям неравенства.

$π x \geq π$

Этап 2.5

Разделим каждый член $π x \geq π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $π x \geq π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x \geq \frac{π}{π}$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x \geq 1$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$π x - π = π - 0$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$π x - π = π$

Этап 2.7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$π x = π + π$

Этап 2.7.2.2

Добавим $π$ и $π$ .

$π x = 2 π$

Этап 2.7.3

Разделим каждый член $π x = 2 π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Разделим каждый член $π x = 2 π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Этап 2.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Этап 2.7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Этап 2.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{π}$

Этап 2.7.3.3.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$x = 2$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (π (x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 2.8.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.8.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 2.8.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.9

Период функции $\sin (π (x - 1))$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = 1 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Этап 2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.12.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x^{2} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Этап 4.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 |$

Этап 4.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2$

Этап 4.5

Запишем $| x | \leq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2$

Этап 4.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2$

Этап 4.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.6

Найдем пересечение $x \leq 2$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Этап 4.7

Решим $- x \leq 2$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2$

Этап 4.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2$ и $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Этап 4.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Этап 6