Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

${(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 1$ или $x \geq 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1] \cup [2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 1, x \geq 2}$

Этап 4