Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$x > 1$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

$x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 1$ или $x > 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1}$

Этап 4