Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 3 x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 3 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $18$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $x \geq 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[4]{x^{2} - 3 x} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}^{4} = 0^{4}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ в виде ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 3 x)}^{1} = 0^{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 3 x = 0^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 0, x > 3}$

Этап 6