Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} - x - 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} - x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Этап 2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - \frac{1}{2}, 1}$

Этап 4