Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 20 x - 9}{x - 2}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$20 x$

$9$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$	-	$9$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$	-	$9$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$	-	$9$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 8$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$	-	$9$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$20 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$4 x$	-	$9$
							-	$4 x$	+	$8$
									-	$1$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} - 8 x + 4 - \frac{1}{x - 2}$