Математический анализ Примеры

$\frac{x + \frac{1}{x} + 17}{x + \frac{1}{x} + 2}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2

Зададим знаменатель в $\frac{x + \frac{1}{x} + 17}{x + \frac{1}{x} + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + \frac{1}{x} + 2 = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 3.2

Каждый член в $x + \frac{1}{x} + 2 = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $x + \frac{1}{x} + 2 = 0$ на $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{1}{x} x + 2 x = 0 x$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 1 + 2 x = 0 x$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$x^{2} + 1 + 2 x = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Переставляем члены.

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 3.3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Перепишем многочлен.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, - 1}$

Этап 5