Математический анализ Примеры

$\sqrt[5]{\sqrt{3^{- 25}}}$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt[5]{\sqrt{\frac{1}{3^{25}}}}$

Этап 2

Возведем $3$ в степень $25$ .

$\sqrt[5]{\sqrt{\frac{1}{847288609443}}}$

Этап 3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{847288609443}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{847288609443}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{847288609443}}}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{847288609443}}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $847288609443$ в виде $531441^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $282429536481$ из $847288609443$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{282429536481 (3)}}}$

Этап 5.1.2

Перепишем $282429536481$ в виде $531441^{2}$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{531441^{2} \cdot 3}}}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt[5]{\frac{1}{531441 \sqrt{3}}}$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{531441 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{531441 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Этап 7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{531441 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Этап 7.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}$

Этап 7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}}$

Этап 7.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}}$

Этап 7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Этап 7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 7.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{1}}}$

Этап 7.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3}}$

Этап 8

Умножим $531441$ на $3$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{1594323}}$

Этап 9

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{1594323}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{1594323}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{1594323}}$

Этап 10

Перепишем $\sqrt[5]{\sqrt{3}}$ в виде $\sqrt[10]{3}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{1594323}}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $1594323$ в виде $9^{5} \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $59049$ из $1594323$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{59049 (27)}}$

Этап 11.1.2

Перепишем $59049$ в виде $9^{5}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{9^{5} \cdot 27}}$

Этап 11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$

Этап 12

Умножим $\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$

Этап 13

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \sqrt[5]{27} {\sqrt[5]{27}}^{4}}$

Этап 13.2

Перенесем $\sqrt[5]{27}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 (\sqrt[5]{27} {\sqrt[5]{27}}^{4})}$

Этап 13.3

Возведем $\sqrt[5]{27}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 ({\sqrt[5]{27}}^{1} {\sqrt[5]{27}}^{4})}$

Этап 13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {\sqrt[5]{27}}^{1 + 4}}$

Этап 13.5

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {\sqrt[5]{27}}^{5}}$

Этап 13.6

Перепишем ${\sqrt[5]{27}}^{5}$ в виде $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{27}$ в виде $27^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {(27^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 13.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 13.6.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{5}{5}}}$

Этап 13.6.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{5}{5}}}$

Этап 13.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{1}}$

Этап 13.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27}$

Этап 14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем ${\sqrt[5]{27}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{27^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{27^{4}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.2

Возведем $27$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{531441}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.3

Перепишем $531441$ в виде $9^{5} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $59049$ из $531441$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{59049 (9)}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.3.2

Перепишем $59049$ в виде $9^{5}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{9^{5} \cdot 9}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt[10]{3} \cdot 9 \sqrt[5]{9}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \cdot 9^{\frac{1}{5}})}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.1.2

Перепишем $9^{\frac{1}{5}}$ в виде $9^{\frac{2}{10}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \cdot 9^{\frac{2}{10}})}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.1.3

Перепишем $9^{\frac{2}{10}}$ в виде $\sqrt[10]{9^{2}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \sqrt[10]{9^{2}})}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 9^{2}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.4

Перемножим экспоненты в ${(3^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 3^{4}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{1 + 4}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.5.6

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{5}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.6

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{243}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.7

Перепишем $243$ в виде $3^{5}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{5}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.8

Перепишем $\sqrt[10]{3^{5}}$ в виде $\sqrt{\sqrt[5]{3^{5}}}$ .

$\frac{9 \sqrt{\sqrt[5]{3^{5}}}}{9 \cdot 27}$

Этап 14.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Этап 15

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $9$ на $27$ .

$\frac{9 \sqrt{3}}{243}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $9$ и $243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \sqrt{3}$ .

$\frac{9 (\sqrt{3})}{243}$

Этап 15.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $243$ .

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Этап 15.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{27}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{27}$

Десятичная форма:

$0.06415002 \dots$