Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Этап 4.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}}$