Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 \cos (x)$ и $g (x) = 5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $15$ на $- 3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.2.2

Изменим порядок множителей в $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $15 x^{2}$ из $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $15 x^{2}$ из $- 15 x^{3} \sin (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $15 x^{2}$ из $- 45 x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $15 x^{2}$ из $15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $15$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $5$ из $15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{6}$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Этап 5.10

Перепишем $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ в виде $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Этап 5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$