Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила частного. Mathway использует другой способ.

Этап 2

По правилу суммы производная $\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{x^{5}}{10}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5} \ln (x)}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{5} \ln (x)}{10}$ по $x$ равна $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.6

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 3.7.2.5

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{1}{50}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{5}}{50}$ по $x$ равна $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} (5 x^{4})$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - 5 (\frac{1}{50}) x^{4}$

Этап 4.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5}{50} x^{4}$

Этап 4.5

Объединим $\frac{- 5}{50}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5 x^{4}}{50}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $- 5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{50}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (10)}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 10}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- x^{4}}{10}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{1}{10} (\ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x)}{10} (5 x^{4}) - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.2

Объединим $5$ и $\frac{\ln (x)}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x)}{10} x^{4} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{5 \ln (x)}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x) x^{4}}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \ln (x) x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{10} x^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{1}{10} x^{4} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.6

Объединим $\frac{1}{10} x^{4}$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.8

Объединим $\frac{1}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4}}{10} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.9

Объединим $\frac{x^{4}}{10}$ и $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 10}{10} - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.10

Перенесем $10$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 \cdot x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.11.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{x^{4} - x^{4}}{10}$

Этап 5.2.12

Вычтем $x^{4}$ из $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{10}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $0$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $10$ из $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 (0)}{10}$

Этап 5.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Этап 5.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Этап 5.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{1}$

Этап 5.2.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + 0$

Этап 5.2.14

Добавим $\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$ и $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{2}$