Математический анализ Примеры

$F (x) = \frac{x^{3} + 27}{x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} + 27$ и $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 1 \cdot 27 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2

Умножим $- 27$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$