Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $x$ на $0$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$