Математический анализ Примеры

$\frac{x^{6} + 8 y^{7}}{x^{7} + y^{8}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{6} + 8 y^{7}$ и $g (x) = x^{7} + y^{8}$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8 y^{7}] - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{6} + 8 y^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $8 y^{7}$ является константой относительно $x$ , производная $8 y^{7}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + 0) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $6 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{7} + y^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $y^{8}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{8}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $7 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) + (- x^{6} - (8 y^{7})) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{7} x^{5} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5} x^{7}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{5 + 7} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.3

Добавим $5$ и $7$ .

$\frac{6 x^{12} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6} x^{6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $x^{6}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 (x^{6} x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6 + 6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.3

Добавим $6$ и $6$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 y^{7} (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 \cdot 7 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.1.9

Умножим $- 8$ на $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $7 x^{12}$ из $6 x^{12}$ .

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $6 y^{8} x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- 56 y^{7} x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{7}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $6 y^{8}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) - (- 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{7}) - (- 6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 56 y^{7} x$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.12

Перепишем $- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ в виде $- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{5} (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$