Математический анализ Примеры

$\frac{21 \sqrt[3]{x}}{x^{2} - 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 21 \sqrt[3]{x}$ и $g (x) = x^{2} - 8$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 \sqrt[3]{x}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 x^{\frac{1}{3}}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $21$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21 x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 11

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 (x^{\frac{2}{3}})} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 13

По правилу суммы производная $x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 15

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 16

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.2

Перенесем $7$ влево от $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.3

Умножим $- 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Объединим $- 8$ и $\frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 \cdot 7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.3.2

Умножим $- 8$ на $7$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.5

Умножим $- 1$ на $21$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.2.6

Умножим $2$ на $- 21$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 \sqrt[3]{x} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{1}{3}} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 (x^{1} x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{1 + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3 + 1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.6

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{4}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.3.7

Вычтем $42 x^{\frac{4}{3}}$ из $7 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 35 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.1.2

Вынесем множитель $- 7$ из $- \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.1.3

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.3

Умножим $- - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + 1 \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.3.2

Умножим $\frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.4

Чтобы записать $5 x^{\frac{4}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 7 (\frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.6

Умножим $x^{\frac{4}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.6.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 7 \frac{5 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.6.4

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{6}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.4.6.5

Разделим $6$ на $3$ .

$\frac{- 7 \frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.5

Объединим $- 7$ и $\frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{- 7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 17.8

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$ на $\frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 17.9

Изменим порядок множителей в $- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 8)}^{2}}$