Математический анализ Примеры

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $36$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 1 \cdot 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $144$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $6^{2}$ .

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 6$ и $b = x$ .

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$