Математический анализ Примеры

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 8 x - 16$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $8 x - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перенесем $8$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $8 x$ из $- 8 x^{2} + 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $8 x$ из $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $8 x$ из $32 x$ .

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (- x) + 8 x (4)$ .

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x (- x + 4)$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

Этап 5.8

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

Этап 5.10

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

Этап 5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$