Математический анализ Примеры

$\frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 5

Добавим $0$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $\sec (x) \tan (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.3.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.3

Изменим порядок $\tan^{2} (x)$ и $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.10

Перенесем $- 1$ влево от $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.2.11

Перепишем $- 1 \sec (x)$ в виде $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$