Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (| x |)$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила умножения. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $| x |$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $| x |$ .

$\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 3

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Этап 4

Умножим $\frac{1}{| x |}$ на $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x | | x |}$

Этап 5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{x}{| x \cdot x |}$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x |}$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x}{| x^{2} |}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{x}{x^{2}}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}}$

Этап 10.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 10.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 10.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Этап 10.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$