Математический анализ Примеры

$h (x) = 7 x^{2} {(5 x + 4)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 x^{2}$ и $g (x) = {(5 x + 4)}^{4}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 4)}^{4}] + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 4$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 4]) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 4]) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 4$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 4]) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [4])) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$7 x^{2} (4 {(5 x + 4)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.6.2

Умножим $5$ на $4$ .

$7 x^{2} (20 {(5 x + 4)}^{3}) + {(5 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Этап 3.7

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} (20 {(5 x + 4)}^{3}) + {(5 x + 4)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 x^{2} (20 {(5 x + 4)}^{3}) + {(5 x + 4)}^{4} (7 (2 x))$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $7$ .

$7 x^{2} (20 {(5 x + 4)}^{3}) + {(5 x + 4)}^{4} (14 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $20$ на $7$ .

$140 x^{2} {(5 x + 4)}^{3} + {(5 x + 4)}^{4} (14 x)$

Этап 4.2

Перенесем $14$ влево от ${(5 x + 4)}^{4}$ .

$140 x^{2} {(5 x + 4)}^{3} + 14 \cdot {(5 x + 4)}^{4} x$

Этап 4.3

Вынесем множитель $14 x {(5 x + 4)}^{3}$ из $140 x^{2} {(5 x + 4)}^{3} + 14 {(5 x + 4)}^{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $14 x {(5 x + 4)}^{3}$ из $140 x^{2} {(5 x + 4)}^{3}$ .

$14 x {(5 x + 4)}^{3} (10 x) + 14 {(5 x + 4)}^{4} x$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $14 x {(5 x + 4)}^{3}$ из $14 {(5 x + 4)}^{4} x$ .

$14 x {(5 x + 4)}^{3} (10 x) + 14 x {(5 x + 4)}^{3} (5 x + 4)$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $14 x {(5 x + 4)}^{3}$ из $14 x {(5 x + 4)}^{3} (10 x) + 14 x {(5 x + 4)}^{3} (5 x + 4)$ .

$14 x {(5 x + 4)}^{3} (10 x + 5 x + 4)$

Этап 4.4

Добавим $10 x$ и $5 x$ .

$14 x {(5 x + 4)}^{3} (15 x + 4)$