Математический анализ Примеры

$\tan (x) \cdot \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.2

Умножим $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 4.2.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Этап 4.2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Этап 4.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)}$

Этап 4.4

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $1$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Этап 4.6.2.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x)$