Математический анализ Примеры

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{2} - 1$ и $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

Этап 6.2

Добавим $10 x$ и $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Этап 7.3.3

Умножим $10$ на $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

Этап 7.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

Этап 7.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

Этап 7.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

Этап 7.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

Этап 7.3.8

Умножим $10$ на $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

Этап 7.3.9

Добавим $20 x^{2}$ и $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$60 x^{2} + 30 x - 4$