Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{3} \sin (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{3}$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$5 x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$5 x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$5 x^{3} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (5 (3 x^{2}))$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $5$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (15 x^{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x^{3} \cos (2 x) + \sin (2 x) (15 x^{2})$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$10 x^{3} \cos (2 x) + 15 x^{2} \sin (2 x)$