Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - x^{3}$ и $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 4.2

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.4

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

Этап 5.2.5

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Этап 5.2.6

Вычтем $9 x^{6}$ из $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$