Математический анализ Примеры

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = r$ и $g (r) = \sqrt{r^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + 1}$ в виде ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ и $g (r) = r^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $r^{2} + 1$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 11

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 r$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 12.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r)}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 12.3

Объединим $\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 12.4

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 12.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Умножим $\sqrt{r^{2} + 1}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.1.2

Умножим $- r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.1

Объединим $\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r \cdot r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.1.2.2

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.1.2.3

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r^{1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1 + 1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.2

Чтобы записать $\sqrt{r^{2} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Умножим $\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + 1}$ в виде ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.2

Упростим.

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.3

Вычтем $r^{2}$ из $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.1.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перепишем ${\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}$ в виде $r^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + 1}$ в виде ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 13.2.1.5

Упростим.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Этап 13.2.2

Перепишем $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ в виде произведения.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

Этап 13.2.3

Умножим $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

Этап 13.2.4

Умножим ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $r^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Умножим ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $r^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1.1

Возведем $r^{2} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 13.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 13.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 13.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 13.2.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$