Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = t^{5}$ .

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок множителей в $- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $t^{4}$ из $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $- t^{5} \sin (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $t^{4}$ из $- 5 t^{4} \cos (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Этап 4.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{10}$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- t \sin (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \cos (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ .

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Этап 4.6

Перепишем $- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ в виде $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$