Математический анализ Примеры

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 18 t$ и $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $18$ является константой относительно $t$ , производная $18 t$ по $t$ равна $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $18$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $t^{2} + 81$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $81$ является константой относительно $t$ , производная $81$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $18$ влево от $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $81$ на $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $36 t^{2}$ из $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 t^{2} + 1458$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 t^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $18$ из $1458$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $18$ из $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок $- t^{2}$ и $9^{2}$ .

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 9$ и $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$