Математический анализ Примеры

$\frac{10 x^{3} + 19 x^{2} - 5}{5 x + 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 10 x^{3} + 19 x^{2} - 5$ и $g (x) = 5 x + 2$ .

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 19 x^{2} - 5] - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $10 x^{3} + 19 x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(5 x + 2) (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(5 x + 2) (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $19$ является константой относительно $x$ , производная $19 x^{2}$ по $x$ равна $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 19 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $19$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x + 0) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $30 x^{2} + 38 x$ и $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $5 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) + (- (10 x^{3}) - (19 x^{2}) - - 5) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Развернем $(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2} + 38 x) + 2 (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.3

Умножим $5$ на $30$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 x \cdot x + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 (x \cdot x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 x^{2} + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.6

Умножим $5$ на $38$ .

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.7

Умножим $30$ на $2$ .

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 60 x^{2} + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.1.8

Умножим $38$ на $2$ .

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 60 x^{2} + 76 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2

Добавим $190 x^{2}$ и $60 x^{2}$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $5$ на $- 10$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $19$ на $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 19 x^{2} \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $5$ на $- 19$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.7

Умножим $- - 5 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} + 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.1.7.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.2

Вычтем $50 x^{3}$ из $150 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 95 x^{2} + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Этап 8.3.3

Вычтем $95 x^{2}$ из $250 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{3} + 155 x^{2} + 76 x + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$