Математический анализ Примеры

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ имеет вид $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ , где $f (w) = w^{2} + 1$ и $g (w) = w^{2} - w - 6$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $w^{2} + 1$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $w$ , производная $1$ относительно $w$ равна $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $2 w$ и $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $w^{2} - w - 6$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [- w]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $w$ , производная $- w$ по $w$ равна $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $w$ , производная $- 6$ относительно $w$ равна $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $2 w - 1$ и $0$ .

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $w^{2}$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перенесем $w$ .

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Умножим $w$ на $w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Перенесем $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Умножим $w$ на $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.8

Развернем $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.2

Умножим $w^{2}$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.2.1

Перенесем $w$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.2.2

Умножим $w$ на $w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.4

Умножим $- w^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.4.2

Умножим $w^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.1.9.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Объединим противоположные члены в $2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $2 w^{3}$ из $2 w^{3}$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $- 2 w^{2} - 12 w$ и $0$ .

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Добавим $- 2 w^{2}$ и $w^{2}$ .

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.3.4

Вычтем $2 w$ из $- 12 w$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разложим $w^{2} - w - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 5.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $(w - 3) (w + 2)$ .

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- w^{2}$ .

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 14 w$ .

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (w^{2}) - (14 w)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.10

Перепишем $- (w^{2} + 14 w - 1)$ в виде $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ .

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

Этап 5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$