Математический анализ Примеры

$x^{7} {(x - 12)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = {(x - 12)}^{5}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(x - 12)}^{5}] + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 12$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{7} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 12$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} \cdot 1) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + {(x - 12)}^{5} (7 x^{6})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $7$ влево от ${(x - 12)}^{5}$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + 7 \cdot {(x - 12)}^{5} x^{6}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ из $x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + 7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ из $x^{7} (5 {(x - 12)}^{4})$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + 7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ из $7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{6} {(x - 12)}^{4} (7 (x - 12))$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ из $x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{6} {(x - 12)}^{4} (7 (x - 12))$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5) + 7 (x - 12))$

Этап 4.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (5 x + 7 (x - 12))$