Математический анализ Примеры

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ и $g (x) = y + 8 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y + 8 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Этап 2.3

Поскольку $8 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $8 y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Этап 2.6

Поскольку $\frac{1}{y^{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{y^{2}}$ относительно $x$ равна $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Этап 2.7

Поскольку $- \frac{2}{y^{4}}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{y^{4}}$ относительно $x$ равна $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

Этап 2.8

Добавим $0$ и $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $0$ .

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $\frac{2}{y^{4}}$ .

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3.5

Умножим $y$ на $0$ .

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Этап 3.3.6

Умножим $0$ на $8$ .

$0 + 0 + 0 y^{3}$

Этап 3.3.7

Умножим $0$ на $y^{3}$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 3.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 3.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$0$