Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x + 7$ и $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Этап 2.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $4 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.3

Умножим $3$ на $7$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.4

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

Этап 5.3.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

Этап 5.3.6

Добавим $12 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$